写在前面

Fredholm定理是泛函分析中的一个定理，本文给出的是用矩阵语言表述的阉割版。

定理内容

设 A∈Fm×n，A \in \mathbb{F}^{m \times n}，l:Rn→Rm\mathscr{l}: \R^{n} \to \R^{m}。对于给定的 b∈Rmb \in \R^{m}，方程 Ax=bAx = b 是否有解？

(1)b∈Im⁡(A)⇔b∈(⁡Ker(AT))⊥;b\in\operatorname{Im}(A)\Leftrightarrow b\in\operatorname({Ker}(A^{T}))^{\perp};

(2)x∈Ker⁡(A)⇔x∈(⁡Im(AT))⊥.(2)x\in\operatorname{Ker}(A)\Leftrightarrow x\in\operatorname({Im}(A^{T}))^{\perp}.

证明

只证(1).
充分性:

b∈Im⁡(A)  ⟺  ∃x∈Rn,Ax=b.b\in\operatorname{Im}(A)\iff\exists x\in\R^n,Ax=b.

⇒∀ν∈Ker⁡(AT),有bTν=(Ax)Tν=xTATν=0(因为ATν=0).\Rightarrow\forall\nu\in\operatorname{Ker}(A^T),有b^T\nu=(Ax)^T\nu=x^TA^T\nu=0(因为A^T\nu=0).

另一方面,要证(Ker⁡(AT))⊥⊂Im⁡(A),(\operatorname{Ker}(A^T))^{\perp}\subset\operatorname{Im}(A),只需证Ker⁡(AT)⊇(Im⁡(A))⊥.\operatorname{Ker}(A^T)\supseteq (\operatorname{Im}(A))^{\perp}.

ν∈(⁡Im(A))⊥⇒∀ω∈Rn,νT(Aω)=ωTATν=0.\nu\in\operatorname({Im}(A))^{\perp}\Rightarrow\forall\omega\in\R^n,\nu^T(A\omega)=\omega^T A^T\nu=0.

不妨设ω=ATν,\omega=A^T\nu,则(ATν)TATν=0⇒ATν=0,即ν∈Ker⁡(AT).(A^T\nu)^TA^T\nu=0\Rightarrow A^T\nu=0,即\nu\in\operatorname{Ker}(A^T).

一个小例题

A=(1236),A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix},Ax=bAx=b在bb为何值时有解?

解:
即b∈Im⁡(A)⇒b∈(Ker⁡(AT))⊥.b\in\operatorname{Im}(A)\Rightarrow b\in(\operatorname{Ker}(A^T))^{\perp}.

易得AT=(1326),A^T=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{pmatrix},
令$$\begin{pmatrix}
1 & 3\
2 & 6
\end{pmatrix}$$

(xy)=(00)\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}

⇒(1300)\Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
(xy)=(00),\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix},得ATx=bA^Tx=b的通解ω=t(−3,1)T\omega=t(-3,1)^T,即Ker⁡(AT)=t(−31)\operatorname{Ker}(A^T)=t\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}

⇒(Ker⁡(AT))⊥=t(1,3)\Rightarrow(\operatorname{Ker}(A^T))^{\perp}=t(1,3)⇒(b1,b2)=t(1,3).\Rightarrow(b_1,b_2)=t(1,3).